一、问题本质分析

题目要求计算a^b的所有因子之和，并对结果取模9901。关键在于理解：

1. 因子和与质因数分解的关系

2. 等比数列求和公式的应用

3. 大数取模运算的处理

二、核心算法思想

1. ‌质因数分解‌：将a分解为质因数的乘积形式

2. ‌等比数列求和‌：对于每个质因数p，计算1 + p + p^2 + ... + p^(e*b)

3. ‌快速幂优化‌：使用快速幂算法加速幂运算

4. ‌分治求和‌：递归计算等比数列和，避免直接计算大数

三、关键技术点详解

1. ‌质因数分解‌：

• 从2开始试除，分解a的质因数

• 记录每个质因数的指数

• 时间复杂度O(√a)

2. ‌等比数列求和公式‌：

• 对于质因数p，其贡献为(1 + p + p^2 + ... + p^(e*b))

• 使用分治方法递归计算，避免数值溢出

• 公式推导：S(n) = (1 + p^(n/2)) * S(n/2-1) + p^n (n为偶数)

3. ‌快速幂算法‌：

• 通过二进制分解指数加速计算

• 每次将指数减半，平方底数

• 时间复杂度O(log n)

四、代码实现

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>
using namespACe std;

const int MOD = 9901;

// 快速幂计算 (base^exp) % MOD
long long qpow(long long base, long long exp) {
    long long res = 1;
    while (exp) {
        if (exp & 1) res = res * base % MOD;
        base = base * base % MOD;
        exp >>= 1;
    }
    return res;
}

// 计算等比数列和 (1 + p + p^2 + ... + p^e) % MOD
long long sum(long long p, long long e) {
    if (e == 0) return 1;
    if (p == 0) return 0;
    
    if (e % 2 == 1) {
        return (1 + qpow(p, (e+1)/2)) * sum(p, (e-1)/2) % MOD;
    } else {
        return ((1 + qpow(p, e/2)) * sum(p, e/2-1) + qpow(p, e)) % MOD;
    }
}

int main() {
    int a, b;
    cin >> a >> b;
    
    if (a == 0) {
        cout << 0 << endl;
        return 0;
    }
    
    int res = 1;
    // 质因数分解
    for (int i = 2; i*i <= a; i++) {
        if (a % i == 0) {
            int cnt = 0;
            while (a % i == 0) {
                a /= i;
                cnt++;
            }
            res = res * sum(i, cnt * b) % MOD;
        }
    }
    if (a > 1) {
        res = res * sum(a, b) % MOD;
    }
    
    cout << res << endl;
    return 0;
}

五、学习价值

通过这个题目可以掌握：

1. 质因数分解的实现技巧

2. 等比数列求和的分治思想

3. 快速幂算法的应用

4. 模运算的性质和技巧