2023年GESP六级考题解析：闯关游戏的最优路径选择

一、问题背景

题目模拟一个闯关游戏，玩家位于第0关，每次可以选择M种前进方式中的一种（前进a[i]关），每通过一关可以获得b[i]分数。需要计算从第0关出发到通关（第N关）的最大得分。

二、算法核心思想

1. 逆向动态规划：从终点倒推计算最优解

2. 状态转移：每个关卡的最优得分由后续可达关卡决定

3. 边界处理：终点得分为0，不可达状态初始化为极小值

三、完整代码解析（带详细注释）

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);  // 关闭同步流加速输入输出
    cin.tie(nullptr);             // 解除cin和cout的绑定
    
    int N, M;  // N为总关卡数，M为前进方式数
    cin >> N >> M;
    
    vector<int> a(M), b(N);  // a存储前进方式，b存储关卡得分
    for (int i = 0; i < M; ++i) cin >> a[i];
    for (int i = 0; i < N; ++i) cin >> b[i];
    
    // DP数组初始化，dp[i]表示从第i关到终点的最大得分
    vector<int> dp(N + 1, -1e9);  // 初始化为极小值表示不可达
    dp[N] = 0;  // 终点状态得分为0
    
    // 逆向动态规划：从后往前计算每个关卡的最优解
    for (int x = N - 1; x >= 0; --x) {
        int max_score = -1e9;  // 当前关卡初始得分
        // 遍历所有可能的前进方式
        for (int i = 0; i < M; ++i) {
            int next = min(x + a[i], N);  // 计算下一步关卡，不超过终点
            if (dp[next] != -1e9) {  // 如果下一步可达
                // 更新当前关卡的最大得分
                max_score = max(max_score, dp[next] + b[x]);
            }
        }
        dp[x] = max_score;  // 记录当前关卡最优解
    }
    
    cout << dp[0] << endl;  // 输出从第0关出发的最大得分
    return 0;
}

四、关键知识点详解

1. 逆向DP优势：相比正向DP更直观处理终点条件

2. 状态转移方程：dp[x] = max(dp[x+a[i]] + b[x])

3. 边界条件：终点N的得分初始化为0

4. 不可达处理：使用-1e9表示不可达状态

五、实际应用场景

1. 游戏AI路径规划

2. 资源分配最优决策

3. 项目管理进度安排

4. 金融投资策略优化

六、学习建议

1. 对比正向和逆向DP的实现差异

2. 尝试修改为记录具体路径的版本

3. 思考如何处理负分关卡的情况

4. 练习类似的动态规划变种问题

参考：GESP六级题闯关游戏