背包问题的终极进化：牛客DP41题解与性能突破

题目分析

牛客DP41是01背包的变种问题，要求选择若干物品放入容量为V的背包，使总价值最大。特殊约束条件为：每个物品有数量限制（多重背包问题）。

核心思路

1. 问题转化：将多重背包通过二进制拆分转为01背包问题

2. 状态定义：dp[j]表示容量为j时的最大价值

3. 转移方程：

   dp[j] = max(dp[j], dp[j - v[i]] + w[i])

算法优化

• 二进制拆分：将k个相同物品拆分为1,2,4...2^(n-1),k-2^n+1的组合

• 空间优化：使用一维数组逆序更新

C++实现（带注释）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2010;

int dp[N];
struct Good {
    int v, w;
};

int main() {
    vector<Good> goods;
    int n, V;
    cin >> n >> V;
    
    // 二进制拆分处理
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        int v, w, s;
        cin >> v >> w >> s;
        for(int k = 1; k <= s; k *= 2) {
            goods.push_back({v*k, w*k});
            s -= k;
        }
        if(s > 0) goods.push_back({v*s, w*s});
    }

    // 01背包处理
    for(auto good : goods)
        for(int j = V; j >= good.v; j--)
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - good.v] + good.w);

    cout << dp[V];
    return 0;
}