牛客12579题详解：递归算法求解最大奇约数和 | 数学与算法完美结合

一、问题理解与算法思路

题目要求计算1到N所有数的最大奇约数的和。最大奇约数是指一个数最大的奇数约数，例如：

• 6的最大奇约数是3

• 8的最大奇约数是1

• 9的最大奇约数是9本身

解题关键思路：

1. 奇数的最大奇约数是其本身

2. 偶数的最大奇约数等于其一半的最大奇约数

3. 使用递归将问题分解为奇数部分和偶数部分

二、完整代码实现（带详细注释）

#include <iostream>
using namespACe std;

// 递归计算1~N的最大奇约数和
long long calculateSum(int N) {
    if(N < 1) return 0;  // 边界条件处理
    
    // 计算奇数部分和：(1+3+5+...+N) 等差数列求和
    long long odd_cnt = (N + 1) / 2;
    long long odd_sum = odd_cnt * odd_cnt;
    
    // 计算偶数部分和：等价于1~N/2的和
    return odd_sum + calculateSum(N / 2);
}

int main() {
    int N;
    while(cin >> N) {  // 处理多组输入
        if(N <= 0) {   // 特殊输入处理
            cout << 0 << endl;
            continue;
        }
        cout << calculateSum(N) << endl;
    }
    return 0;
}

三、算法核心解析

1. 递归思想：将问题分解为奇数部分和偶数部分

2. 奇数处理：直接使用等差数列求和公式

3. 偶数处理：等价于求1到N/2的和

4. 边界条件：N小于1时返回0

四、复杂度分析与优化

1. 时间复杂度：O(logN)，每次递归N减半

2. 空间复杂度：O(logN)，递归调用栈的深度

3. 优化建议：

• 可以改为迭代实现减少栈空间

• 对于大数可以使用记忆化优化

五、常见问题解答

Q：为什么奇数部分的和是平方数？ A：因为1+3+5+...+(2n-1) = n²，这是等差数列的性质。

Q：如何处理大数溢出问题？ A：代码中使用了long long类型，可以处理较大的N值。

Q：递归终止条件是什么？ A：当N小于1时递归终止，返回0。