【组合数学应用】洛谷P2181 对角线交点问题：C++高效解法与数学推导

一、SEO化题目解读

洛谷P2181是一道经典的组合数学问题，要求计算凸n边形对角线交点的最大数量。题目考察组合数学知识在算法竞赛中的应用，特别是组合数公式的推导和实现技巧，是训练数学思维和算法优化的好题目。

二、解题思路（参考代码分析）

1. ‌数学原理‌：每四个顶点确定一个对角线交点

2. ‌公式推导‌：交点数量等于从n个顶点中选4个顶点的组合数

3. ‌优化计算‌：使用分步计算避免大数溢出

4. ‌数据类型‌：采用unsigned long long防止整数溢出

三、解题步骤详解

1. ‌输入处理‌：读取整数n表示多边形边数

2. ‌公式计算‌：

• 分步计算组合数C(n,4)

• 每步进行除法防止中间结果溢出

3. ‌结果输出‌：直接输出计算结果

四、完整代码实现

#include <iostream>
using namespACe std;

int main() {
    unsigned long long n; // 使用unsigned long long防止大数溢出
    cin >> n;
    
    // 从n个顶点中选4个顶点确定一个交点
    // 分步计算组合数C(n,4) = n*(n-1)*(n-2)*(n-3)/24
    // 每步进行除法防止中间结果溢出
    unsigned long long result = n * (n-1) / 2 * (n-2) / 3 * (n-3) / 4;
    
    cout << result << endl;
    return 0;
}

五、总结

本文详细解析了洛谷P2181对角线交点问题的组合数学解法，通过推导组合数公式并采用分步计算策略，实现了高效且安全的计算。该算法时间复杂度为O(1)，空间复杂度为O(1)，是解决此类数学问题的典范。

链接：洛谷2181题解析：组合数学中顶点交点的计算与代码优化