洛谷P1656：用Tarjan算法找出关键铁路的奥秘

一、算法核心思路

本题要求找出所有被删除后会破坏图连通性的边（即割边/桥）。我们采用Tarjan算法实现，其核心原理是通过DFS遍历记录每个节点的访问次序（dfn）和能回溯到的最早节点（low），当满足low[v] > dfn[u]时，边(u,v)即为割边。

二、完整AC代码（带详细注释）

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int MAXN = 155;
vector<int> G[MAXN];  // 邻接表存图
int dfn[MAXN], low[MAXN];
int timestamp = 0;     // 时间戳
vector<pair<int, int>> bridges; // 存储所有割边

void tarjan(int u, int father) {
    dfn[u] = low[u] = ++timestamp;
    for (int v : G[u]) {
        if (!dfn[v]) {  // 未访问过的节点
            tarjan(v, u);
            low[u] = min(low[u], low[v]);
            // 发现割边条件
            if (low[v] > dfn[u]) {
                bridges.push_back({min(u,v), max(u,v)});
            }
        } else if (v != father) {  // 处理回边
            low[u] = min(low[u], dfn[v]);
        }
    }
}

int main() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    
    // 建图
    while (m--) {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        G[a].push_back(b);
        G[b].push_back(a);
    }
    
    // 执行Tarjan算法
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        if (!dfn[i]) tarjan(i, -1);
    }
    
    // 输出结果（按字典序排序）
    sort(bridges.begin(), bridges.end());
    for (auto &p : bridges) {
        cout << p.first << " " << p.second << endl;
    }
    
    return 0;
}

三、代码解析

1. 关键变量说明

• dfn数组：记录每个节点的DFS序（ discovery time）

• low数组：记录通过回边能到达的最早祖先节点

• bridges容器：动态存储找到的所有割边

2. 算法执行流程

1. 初始化阶段：清空图数据，初始化时间戳

2. DFS遍历：对每个未访问节点调用tarjan函数

3. 割边判定：当子节点v无法绕过当前边(u,v)回到更早节点时

4. 结果处理：对割边进行排序输出

3. 易错点提醒

• 需要处理重边情况（本题数据保证无重边）

• 输出要求按字典序排序

• 节点编号从1开始

四、复杂度分析

• 时间复杂度：O(V+E) 标准的DFS复杂度

• 空间复杂度：O(V) 主要消耗在存储dfn/low数组